詩人西爾維婭?普拉斯曾寫道:“第一天上物理課簡(jiǎn)直像下地獄。”她繼續(xù)說：

一個(gè)名叫曼茲先生的黑矮男人，扯著高亢而渾濁的嗓音，身著緊身藍(lán)色西裝站在教室前，手中正拿著一個(gè)小木球。他把球放在一個(gè)有溝槽的斜坡上，讓它一直滾到底。之后他開始講，設(shè)加速度為a，時(shí)間為t，而突然間，他就開始在黑板上洋洋灑灑地寫滿了字母、數(shù)字和等號(hào)，于是我的大腦就這樣熄火了。

至少在這段重述普拉斯生平的半自傳性文字中有寫到，曼茲先生曾寫過一本400多頁的書，其中沒有圖畫和照片，只有圖表和公式。

這就如同，你試著去欣賞普拉斯的詩，但不是靠自己讀，而是聽旁人講。在普拉斯的故事版本中，她是唯一在這門課上拿了A等成績(jī)的學(xué)生，但物理還是給她留下了恐懼感。

畢竟，數(shù)學(xué)是理性的詩歌，而詩是心靈的數(shù)學(xué)。 ---戴維?尤金?史密斯（美國數(shù)學(xué)家和教育家）

物理學(xué)家理查德?費(fèi)曼的物理導(dǎo)論課則完全不同。諾貝爾獎(jiǎng)得主費(fèi)曼是個(gè)熱情洋溢的人，平時(shí)打邦哥小鼓引以為樂，說起話來的樣子更像個(gè)務(wù)實(shí)的出租車司機(jī)，而不像什么尖頭尖腦的知識(shí)分子。

在費(fèi)曼11歲時(shí)，一次不經(jīng)意的對(duì)話對(duì)他產(chǎn)生了天翻地覆的影響。他告訴朋友，思考不過是內(nèi)心的自言自語。

“是這樣嗎？”費(fèi)曼的朋友說,“你知道汽車曲軸的形狀極其復(fù)雜吧？”

“對(duì)，知道又怎樣？”

“不錯(cuò)。現(xiàn)在告訴我，你在自言自語的時(shí)候，是怎么描述這形狀的？”

正是這么一問，費(fèi)曼認(rèn)識(shí)到，思想能表現(xiàn)為語言就能表現(xiàn)為形象。

后來他寫道，還是學(xué)生的他，曾努力想象一些概念并對(duì)進(jìn)行形象化，比如電磁波，它是肉眼看不見的能量流，從陽光到手機(jī)信號(hào)都由它來承載。可他難以用語言描述心中所見。如果連世界上最了不起的科學(xué)家之一都想象不出該如何看待一些（公認(rèn)的難以想象的）物理學(xué)概念，那我們普通人該怎么辦呢？

我們可以在詩歌的國度找到鼓舞和靈感。讓我們來看幾句歌詞，這幾句來自美國歌手兼詞作家喬納森?庫爾頓寫的一首歌，叫作“曼德博集”，歌曲內(nèi)容有關(guān)一位著名數(shù)學(xué)家---貝努瓦?曼德爾布羅特。

天堂的曼德爾布羅特啊。

他讓我們?cè)诨煦缰锌匆娤Ｍ?/p>

他的幾何學(xué)在別人跌倒的地方獲得了成功

所以，如果你迷失了方向，會(huì)有一只蝴蝶拍打翅膀

遠(yuǎn)在百萬公里之外，一個(gè)小奇跡將送你歸鄉(xiāng)

在庫爾頓動(dòng)人的詞句中，他捕捉到了曼德爾布羅特杰出的數(shù)學(xué)精髓，由此我們能在腦中形成圖像---只見蝴蝶的翅膀輕柔一振，傳播開來，甚至?xí)诎偃f公里以外的地方造成影響。

曼德爾布羅特創(chuàng)造的新式幾何讓我們懂得，那些有時(shí)看起來粗糙混亂的事物，比如云和海岸線，卻在一定程度上存在規(guī)律。視覺的復(fù)雜性可以由簡(jiǎn)單規(guī)則創(chuàng)造出來，正如現(xiàn)代動(dòng)畫電影制作中的神奇手段。庫爾頓的詩歌也影射出了曼德爾布羅特成就中蘊(yùn)含的概念---宇宙某部分細(xì)小、微妙的變化，最終會(huì)對(duì)其他一切產(chǎn)生影響。

你越去看庫爾頓的歌詞，便越會(huì)發(fā)現(xiàn)這概念能在生活各個(gè)方面得到更多應(yīng)用---你對(duì)曼德爾布羅特的成果理解得越深刻，這些意義便越發(fā)明晰。

正如詩歌、方程中也存在隱藏的含義。如果正在看物理方程式的你是個(gè)新手，而且也未曾有人教過你怎么去看懂符號(hào)下鮮活的內(nèi)涵，那么這些方程表達(dá)式對(duì)于你而言就是一片死寂。只有當(dāng)你開始學(xué)習(xí)，并將隱藏內(nèi)容賦予方程表達(dá)式，它的內(nèi)涵才開始跳躍、流動(dòng)，最后如同獲得生命一般呈現(xiàn)于你。

在一篇經(jīng)典論文中，物理學(xué)家杰弗里?普倫蒂斯比較了物理學(xué)新手和成熟的物理學(xué)家在看待方程時(shí)的差異。新手看方程，不過就是在記憶中互不相關(guān)的海量方程中添加一個(gè)記憶內(nèi)容。然而，層次更高的學(xué)生和物理學(xué)家，能在心中看見方程背后的意義，能看見它是怎樣被置于宏觀背景之下的，甚至?xí)?duì)方程的一部分感同身受。數(shù)學(xué)家要有些詩人氣質(zhì)，才算得上名副其實(shí)。

? ? ? ? ---卡爾?魏爾斯特拉斯（德國教育學(xué)家）

當(dāng)你把字母a看作加速度，你也許會(huì)有車?yán)锊扔烷T的感覺。轟的一聲！你感受到了加速的推背感。

可每當(dāng)你看到字母a都需要喚起這種感覺嗎？當(dāng)然不必，你可不想喚起學(xué)習(xí)中的每一個(gè)小細(xì)節(jié)，否則自己會(huì)瘋掉的。但是，如果你看到方程中遍布a的身影并在努力分析它的含義，那么那種推背感應(yīng)盤旋在你的大腦后臺(tái)，就像一個(gè)時(shí)刻準(zhǔn)備溜進(jìn)工作記憶的組塊。

同樣，當(dāng)你把n看作質(zhì)量，你也許會(huì)感受到一塊50磅巨石慵懶的慣性，要搬動(dòng)它可是個(gè)大工程。當(dāng)你把F看作力，借心靈之眼你也許會(huì)看到力背后的秘密，正如方程F=ma所示，力的大小取決于質(zhì)量和加速度：ma。也許你能體會(huì)到F背后的奧妙。力把一種舉升的氣勢(shì)（加速度），作用在巨石慵懶的質(zhì)量上。

讓我們?cè)賮睃c(diǎn)錦上添花。物理術(shù)語做功意味著能量。當(dāng)我們推動(dòng)（把力作用在）一件東西，讓它通過一段距離，我們就做了如詩般簡(jiǎn)潔：W=Fd。一旦我們看見W代表做功，那么我們便可通過心靈之眼，甚至通過身體感受，去想象這背后的含義。最終，我們提取出了一行方程之詩，就像下面這樣

? ? ? ? ? ? W

? ? ? ? ? ? W=Fd

? ? ? ? ? ? W=(ma)d

換句話說，符號(hào)和方程背后都存在隱藏信息---一旦人對(duì)概念更熟悉，它們的含義就會(huì)更清晰。盡管科學(xué)家不這么表述，但他們會(huì)經(jīng)常將方程看作一種詩歌形式，以此可以迅速用符號(hào)記下他們正嘗試去看清和理解的事。善于觀察者能認(rèn)識(shí)到一首詩的深度，詩中會(huì)有許多可能含義。同樣，在學(xué)識(shí)上不斷成熟的學(xué)生，借心靈之眼也能漸漸學(xué)會(huì)看清方程背后的隱藏含義，甚至憑直覺形成不同解讀。并不意外，圖、表格或其他圖像也具有隱藏含義---在心靈之眼中，它們所呈現(xiàn)的內(nèi)涵甚至比紙上的內(nèi)容更豐富。

此前我們提到這點(diǎn)，既然我們對(duì)如何想象方程背后的概念已有了更深的領(lǐng)悟，那現(xiàn)在它值得我們來重視審視。努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和科學(xué)的時(shí)候，我們能做的最重要的一件事，就是給腦中的抽象概念賦予生命。

例如，圣地亞哥?拉蒙-卡哈爾對(duì)待眼前微觀場(chǎng)景，就像在看待一群居住在其中的小生命，它們有希望和夢(mèng)想，就像人類自己。爵士查爾斯?謝林頓，是卡哈爾的同事和朋友，同時(shí)他也是突觸一詞的創(chuàng)造者，他告訴朋友，他從來沒見過有哪位科學(xué)家能像卡哈爾一樣讓自己的工作充滿生命力。謝林頓猜想這也許是促進(jìn)卡哈爾達(dá)到他成功高度的一個(gè)關(guān)鍵因素。

愛因斯坦的相對(duì)論并非源自他的數(shù)學(xué)才能(他經(jīng)常需要與數(shù)學(xué)家合作來取得進(jìn)展），而是源自他“假裝”的能力。他想象自己是一個(gè)以光速移動(dòng)的光子，然后想象第二個(gè)光子會(huì)怎樣看他。第二個(gè)光子會(huì)看到并感受到什么呢？

芭芭拉?麥克林托克因發(fā)現(xiàn)基因換位（“跳躍基因“會(huì)改變自己在DNA鏈上的位置”）的存在而獲得諾貝爾獎(jiǎng)，她曾寫過自己如何對(duì)其研究的玉米植株進(jìn)行想象：“我甚至能看到染色體的內(nèi)部成分--實(shí)際上一切就在那里。因?yàn)槲規(guī)缀醺杏X自己就像置身其中，而染色體是我的朋友，這感覺讓我驚奇。”

或許在心靈之眼的注視下，把正在研究的這些元素和生物機(jī)制想象成活物，還讓它們有了自己的感覺和思想，會(huì)顯得有些愚蠢。但是這個(gè)方法很奏效，它讓研究對(duì)象鮮活起來，還能幫你看清并理解一些現(xiàn)象，而僅僅看枯燥數(shù)字和公式是無法靠直覺感受這些現(xiàn)象的。

簡(jiǎn)化也很重要。為了方便自己理解，理查德?費(fèi)曼，本章前部分說到的那位打邦哥鼓的物理學(xué)家，他要求科學(xué)家和數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)單闡釋他們的概念，他這個(gè)做法是出了名的。出人意料的是，無論概念多么復(fù)雜，幾乎任何一個(gè)概念都可以得到簡(jiǎn)要解釋。為了醞釀簡(jiǎn)單解釋，你把復(fù)雜材料分解成幾個(gè)關(guān)鍵要素，結(jié)果你對(duì)材料的理解更加深刻了。學(xué)習(xí)專家斯科特?揚(yáng)發(fā)展了這個(gè)理念，也稱之為費(fèi)曼法，這個(gè)方法要求人們找到簡(jiǎn)單的比喻類或類比來幫助他們理解概念要旨。

傳奇人物查爾斯?達(dá)爾文的做法也跟這個(gè)差不多。在他試著對(duì)一個(gè)概念做出解釋時(shí)，會(huì)想象有個(gè)人剛剛走進(jìn)自己的書房。他會(huì)放下筆，努力用最簡(jiǎn)單的語言來解釋它。這讓他知道了如何將概念用文字描述出來。類似地，網(wǎng)站Reddit.com有一個(gè)叫作“像5歲孩子一樣做解釋”的板塊，在那里任何人可以發(fā)帖尋求復(fù)雜主題的簡(jiǎn)單解答。

你可能會(huì)覺得，需要先理解才能給出解釋。但是注意，當(dāng)你和身邊人談?wù)搶W(xué)習(xí)時(shí)發(fā)生了什么。在試圖對(duì)他人和自己做出解釋時(shí)，你常會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，理解常常是解釋的產(chǎn)物，而非先有理解才有解釋。這就是為什么老師常說，他們第一次真正理解教學(xué)材料，是在自己去教學(xué)生的時(shí)候。

認(rèn)識(shí)你很高興！

學(xué)習(xí)有機(jī)化學(xué)的難度和去認(rèn)識(shí)一些新人物比起來沒什么兩樣。每一個(gè)元素都有自己獨(dú)特的個(gè)性。你越了解它們的性格，就越能讀懂它們的處境，并能預(yù)知它們?cè)谙嗷プ饔弥袝?huì)產(chǎn)生的結(jié)果。

? ? ? ? ? ? ? ? ---凱瑟琳?諾爾塔（哲學(xué)博士，化學(xué)高級(jí)講師和金蘋果獎(jiǎng)得主，該獎(jiǎng)項(xiàng)授予密歇根大學(xué)公認(rèn)優(yōu)秀教員）

該你試試了！

? ? ? ? ? ? ? ? ? 腦中的自導(dǎo)自演

想象自己置身于研究?jī)?nèi)容之中---你正從細(xì)胞中電子的視角，或甚至從一個(gè)數(shù)學(xué)概念的角度在看世界。試著和你的新朋友表演一出戲，想象它們會(huì)有怎樣的感受和反應(yīng)。

遷移是把所學(xué)知識(shí)從一個(gè)知識(shí)背景應(yīng)用到別處的能力。比如，或許你學(xué)了一門外語之后，發(fā)現(xiàn)學(xué)第二門外語就比學(xué)第一門外語要輕松了。那是因?yàn)楫?dāng)你學(xué)過第一門外語，你獲得了基本的語言學(xué)習(xí)技巧，同時(shí)你也潛在地學(xué)會(huì)了相似的新單詞和語法結(jié)構(gòu)，它們便遷移到了你的第二門外語學(xué)習(xí)中。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)但只把它應(yīng)用在一個(gè)特定學(xué)科，比如會(huì)計(jì)、工程或經(jīng)濟(jì)學(xué)，這就有點(diǎn)像決意不再認(rèn)真學(xué)另一門外語---只堅(jiān)守著一種語言就行，只需額處再多學(xué)幾個(gè)英語單詞就行。許多數(shù)學(xué)家覺得，完全針對(duì)特定學(xué)科去學(xué)數(shù)學(xué)的方法，會(huì)讓你更難以靈活且創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)。

他們覺得如果你按他們教的方式學(xué)數(shù)學(xué)，即圍繞著抽象且形成了組塊的概念精髓，而腦中沒有特定應(yīng)用范疇，你就能獲得輕松將知識(shí)遷移到各種應(yīng)用的技能。也可以說，獲得這樣的技能，就如同語言學(xué)習(xí)中獲得了語言的基本學(xué)習(xí)技巧一樣。比如，你也許是一個(gè)物理系學(xué)生，但你能通過運(yùn)用你的抽象數(shù)學(xué)知識(shí)，迅速領(lǐng)悟如何將數(shù)學(xué)運(yùn)用到其他極不相同的領(lǐng)域，比如應(yīng)用到生物、金融，或者甚至是心理學(xué)過程中去。

這也是數(shù)學(xué)家喜歡從抽象角度教數(shù)學(xué)的部分原因，因?yàn)檫@樣不必立刻把視野縮小到具體的應(yīng)用上去。他們想讓你看到概念的精髓，考慮到這樣會(huì)更容易把概念遷移到多種問題上去。如果用語言學(xué)做類比，就像是他們并不希望你只學(xué)會(huì)如何用特定語言說“我跑”這個(gè)短語，不管是阿爾巴尼亞語、立陶宛語還是冰島語，而是期望你能理解更基本的概念，比如有一類詞匯叫動(dòng)詞，它們需要變位。

這其中的困境在于，如果你把概念直接應(yīng)用到具體問題，往往會(huì)更易于掌握一種數(shù)學(xué)思想，即使這么做之后再要把概念遷移到新領(lǐng)域會(huì)有更大難度。不出所料，我們最終會(huì)看到，對(duì)于具體和抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法總是急論不斷。于是數(shù)學(xué)家退后一步，試圖把握高地，以確保學(xué)習(xí)過程圍繞著抽象方法進(jìn)行。相反，工程、商科等許多其他專業(yè)則自然偏向?qū)ｉT應(yīng)用于特定領(lǐng)域的數(shù)學(xué)，并以此來提高學(xué)生的參與感，同時(shí)也避免學(xué)生抱怨“我什么時(shí)候才能用到這個(gè)。”具體的應(yīng)用數(shù)學(xué)也被這個(gè)問題困擾，數(shù)學(xué)教材中許多“現(xiàn)實(shí)世界”的問答題都只不過是做了單薄偽裝就搬上書本給學(xué)生練習(xí)。最終我們看到，具體和抽象的方法各有利弊。

遷移的好處在于，隨著一門學(xué)科內(nèi)容難度的增進(jìn)，遷移往往能讓學(xué)生學(xué)得輕松一些。正如匹茲堡大學(xué)教授杰森?德尚說：“我總告訴我的學(xué)生，隨著他們護(hù)理項(xiàng)目的進(jìn)展，要學(xué)的東西會(huì)越來越少，可他們不相信我的話。實(shí)際上，他們每個(gè)學(xué)期都越學(xué)越多，他們只是更善于將所學(xué)知識(shí)整合到一起。”

拖延問題最嚴(yán)重的方面之一，就是不停打斷自己注意力去查看手機(jī)短信、電子郵件或其他更新，這會(huì)干擾遷移的進(jìn)行。時(shí)常中斷手中工作不僅會(huì)讓學(xué)生無法深入學(xué)習(xí)，也讓他們無法將所學(xué)的那一點(diǎn)知識(shí)輕松遷移到別的問題上。你可能認(rèn)為，自己查看短信時(shí)，并沒放下學(xué)習(xí)，但現(xiàn)實(shí)情況是，你的大腦因?yàn)闆]有足夠的專注時(shí)間而無法形成固化神經(jīng)組塊，但這些組塊才是概念遷移到其他區(qū)域的核心。

概念遷移，效果不錯(cuò)

? 我在五大湖學(xué)會(huì)了釣魚技巧，去年就到佛羅里達(dá)礁群去小試牛刀。完全不同的魚類，完全不同的魚餌，還用了從沒用過的釣法，但是效果不錯(cuò)。人們覺得我病得不輕，但有趣的是我讓他們看到這樣確實(shí)能抓到魚。

? ? ? ---帕特里克?司克金（歷史專業(yè)大四學(xué)生）

本章小結(jié)

方程只是抽象和簡(jiǎn)化概念的方法。這說明，方程包含的深層含義，與詩歌中的深層內(nèi)涵有相似之外。

你的“心靈之眼”之所以重要，是因?yàn)樗鼛湍阍谀X中排演，并把學(xué)過的知識(shí)擬人化。

遷移是把所學(xué)知識(shí)從一個(gè)知識(shí)背景應(yīng)用到別處的能力。

關(guān)鍵是要掌握一個(gè)數(shù)學(xué)概念的組塊精髓，這會(huì)有利于概念遷移和將之應(yīng)用到新途徑中。

在學(xué)習(xí)過程中一心多用讓學(xué)習(xí)無法深入，這樣會(huì)限制你遷移所學(xué)知識(shí)的能力。

駐足與回顧

合上書，轉(zhuǎn)移視線，想想本章有哪些要點(diǎn)？你能在心中用符號(hào)描繪出這些概念嗎？

學(xué)習(xí)提升

1. 寫一首方程之詩，用幾句話展現(xiàn)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程背后的內(nèi)涵。

2. 寫寫如何對(duì)你在學(xué)的一些概念進(jìn)行自導(dǎo)自演。你認(rèn)為這場(chǎng)戲里的各位角色會(huì)有哪些現(xiàn)實(shí)感受，又會(huì)發(fā)生怎樣的互動(dòng)？

3. 拿出一個(gè)你學(xué)過的數(shù)學(xué)概念，看看這個(gè)概念是怎樣應(yīng)用到具體實(shí)例中的。退回步看看這個(gè)應(yīng)用實(shí)例，你是否可以體會(huì)到其背后存在的抽象概念組塊。你能想出一個(gè)完全不同的方式去運(yùn)用那個(gè)概念嗎？

我是挹洗俏月，祝您晚安……