函數f(x)在開區間（a,b）有直到n+1階的導數,則當函數在此區間內時,可以展開為一個關于（x-x.)多項式和一個余項的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),這里ξ在x和x.之間,該余項稱為拉格朗日型的余項.（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數,不是f(n)與x.的相乘.）證明：我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根據拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx）,其中誤差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趨向于0,所以在近似計算中往往不夠精確；于是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：