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證明 拉格朗日乘數法(拉格朗日乘數法原理?)

來源:www.whzytd.com.cn???時間:2023-02-01 20:29???點擊:71??編輯:admin 手機版

1. 拉格朗日乘數法原理?

拉格朗日乘數法(以數學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的 多元函數的 極值的方法。

這種方法將一個有n 個變量與k 個 約束條件的最優化問題轉換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題,其變量不受任何約束。

這種方法引入了一種新的標量未知數,即拉格朗日乘數:約束方程的梯度(gradient)的線性組合里每個向量的系數。

此方法的證明牽涉到偏微分, 全微分或鏈法,從而找到能讓設出的隱函數的微分為零的未知數的值。

2. 拉格朗日乘數法公式?

拉格朗日乘數原理(即拉格朗日乘數法)由用來解決有約束極值的一種方法。

有約束極值:舉例說明,函數 z=x^2+y^2 的極小值在x=y=0處取得,且其值為零。如果加上約束條件 x+y-1=0,那么在要求z的極小值的問題就叫做有約束極值問題。

上述問題可以通過消元來解決,例如消去x,則變成

z=(y-1)^2+y^2

則容易求解。

但如果約束條件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此時消元將會很繁,則須用拉格朗日乘數法,過程如下:

f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)

f對x的偏導=0

f對y的偏導=0

f對k的偏導=0

解上述三個方程,即可得到可讓z取到極小值的x,y值。

拉格朗日乘數原理在工程中有廣泛的應用,以上只簡單地舉一例,更復雜的情況(多元函數,多限制條件)可參閱高等數學教材。

3. 什么是拉格朗日乘數法?

拉格朗日乘數法(以數學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的 多元函數的 極值的方法。

這種方法將一個有n 個變量與k 個 約束條件的最優化問題轉換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題,其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標量未知數,即拉格朗日乘數:約束方程的梯度(gradient)的線性組合里每個向量的系數。此方法的證明牽涉到偏微分, 全微分或鏈法,從而找到能讓設出的隱函數的微分為零的未知數的值

4. 拉格朗日乘數法適用條件?

拉格郎日乘數法的適用條件是乘數不等于0。

求最值(最值是某個區間的最大或最小,注意最大/最小可能有同值的多個,所以也不唯一哈,極值是一個小范圍,很小很小,內的最值).因為最值總是發生在極值點+區間邊界點+間斷點處,所以可以用拉朗乘數求出極值,用邊界和間斷點極限求出可疑極值,比較他們的大小,就可以找到區間內的最值了.特別地,若函數在區間內用拉朗求出僅一個極值,切很易判定沒有其他可疑極值點,就可以直接判斷那個極值是最值;或者可以判斷函數在所給區間內單調(比如exp(x^2+y^2)在(x>0,y>0)時單調遞增),就不用求極值(因為沒有),直接求區間邊界(或者間斷點,有間斷點也可以單調的)作為最值。

5. 拉格朗日乘數法中的乘數λ能為零?

拉格朗日乘數的數值是按照實際演算獲取的,不排除為0的可能性。根據推導過程可知,λ是不可以等于0的。

1.如果等于0,f對x求導,就是原函數對x求導

2.f對y求導,就是原函數對y求導

3.上面兩個式子一般是不可能解出來的 由拉格朗日乘數法的推導過程可以看出,λ≠0,否則駐點(x0,y0)滿足的式子就變成了

4.f對x的偏導=0

5.f對y的偏導=0

6.f對λ的偏導=0

7.前面兩個式子一般是不成立的。

8.求z=xy^2在x^2+y^2=1下的極值?一般應該是求最大值、最小值!

9.一種方法是化成一元函數的極值z=x(1-x^2),-1≤x≤1.

10.用拉格朗日乘數法的話,設L(x,y)=xy^2+λ(x^2+y^2-1),解方程組

11.y^2+2λx=0

12.2xy+2λy=0

13.x^2+y^2=1

14.前兩個方程求出x=-λ,y^2=2λ^2,代入第三個式子得λ=±1/√3,所以x=±1/√3,y=±√(2/3),比較4個駐點處的函數值可得最大值和最小值

6. 拉格朗日乘數法求最值?

構造函數4a+b+m(a^2+b^2+c^2-3)

對函數求偏導并令其等于0

4+2ma=0

1+2mb=0

2mc=0

同時a^2+b^2+c^2=3

所以

m=根號17/2根號3

a=-4根號3/根號17

b=-根號3/根號17

4a+b=-根號51

1、是求極值的,不是求最值的

2、如果要求最值,要把極值點的函數值和不可導點的函數值還有端點函數值進行比較

3、書上說是可能的極值點,這個沒錯,比如f(x)=x^3,在x=0點導數確實為0,但是不是極值點,所以是可能的極值點,到底是不是要帶入原函數再看

7. 用拉格朗日乘數法求極值:)?

  在數學最優化問題中,拉格朗日乘數法(以數學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的多元函數的極值的方法。

這種方法將一個有n 個變量與k 個約束條件的最優化問題轉換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題,其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標量未知數,即拉格朗日乘數:約束方程的梯度(gradient)的線性組合里每個向量的系數。此方法的證明牽涉到偏微分,全微分或鏈法,從而找到能讓設出的隱函數的微分為零的未知數的值。

8. 拉格朗日乘數法求需求函數?

拉格朗日乘數法是多元微分學中用來求函數z=f(x,y)在滿足g(x,y)=0條件下的極值問題的方法:通過設F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ稱為拉格朗日乘數,并求F(x,y)的極值點求得條件極值的方法

9. 解拉格朗日乘數法的技巧?

拉格朗日乘數法解法:在數學最優問題中,拉格朗日乘數法(以數學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的多元函數的極值的方法。

這種方法將一個有n個變量與k個約束條件的最優化問題轉換為一個有n+k個變量的方程組的極值問題,其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標量未知數,即拉格朗日乘數:約束方程的梯度(gradient)的線性組合里每個向量的系數。此方法的證明牽涉到偏微分,全微分或鏈法,從而找到能讓設出的隱函數的微分為零的未知數的值。

10. 拉格朗日乘數法對x求導

在這里xyz都是自變量,

V=xyz就是一個多元函數,并不是方程,

x,y,z的變化都會使V發生變化

沒錯,xyz滿足了條件

φ(x,y,z)=2xy+2yz+2xz-a^2=0

你當然可以把其中一個用另外兩個來表示,

再帶回到V=xyz中,

然后只求偏導兩次就可以了

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