1. ln(1+x)泰勒展開拉格朗日余項
拉格朗日(Lagrange)余項: ,其中θ∈(0,1)。 拉格朗日余項實際是泰勒公式展開式與原式之間的一個誤差值,如果其值為無窮小,則表明公式展開足夠準(zhǔn)確。 證明: 根據(jù)柯西中值定理: 其中θ1在x和x0之間;繼續(xù)使用柯西中值定理得到: 其中θ2在θ1和x0之間;連續(xù)使用n+1次后得到: 其中θ在x和x0之間;
2. 1/(1-x)泰勒展開拉格朗日余項
[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿足條件:
(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);
(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得
顯然,羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)f(a)=f(b)時的特殊情形,拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。
3. ln(1+x)泰勒展開余項
泰勒展開是在定義域內(nèi)的某一點展開,lnx在x=0處無定義,它不能在x=0處展開
一般用ln(x+1)來套用麥克勞林公式
在x = 0 處無定義,因為本來ln 0就沒定義
泰勒展開是可以的,一般是對ln(x+1)進(jìn)行展開,有麥克勞林公式:
ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 ...+(-1)^(n-1)x^n/n+...
要算ln x的近似值用ln (x+1)公式就可以。
擴(kuò)展資料:
除了一元泰勒公式外,多元泰勒公式的應(yīng)用也非常廣泛,特別是在微分方程數(shù)值解和最優(yōu)化上有著很大的作用。
在高等數(shù)學(xué)的理論研究及應(yīng)用實踐中,泰勒公式有著十分重要的應(yīng)用,簡單歸納如下
(1)應(yīng)用泰勒中值定理(泰勒公式)可以證明中值等式或不等式命題 。
(2)應(yīng)用泰勒公式可以證明區(qū)間上的函數(shù)等式或不等式。
(3)應(yīng)用泰勒公式可以進(jìn)行更加精密的近似計算
4. ln(x+1)的拉格朗日余項
設(shè)給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0,為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點,先做拉格朗日函數(shù),其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導(dǎo)數(shù),令它們等于零,并與附加條件聯(lián)立,即
L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0,
L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0,
φ(x,y)=0
由上述方程組解出x,y及λ,如此求得的(x,y),就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點。
5. lnx在x=2處的帶有拉格朗日型余項的泰勒公式
拉格朗日余項的泰勒公式:f'(x)=n+1。泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)滿足一定的條件,泰勒公式可以用函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似表達(dá)這個函數(shù)。
函數(shù)(function)的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義,函數(shù)的兩個定義本質(zhì)是相同的,只是敘述概念的出發(fā)點不同,傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā),而近代定義是從集合、映射的觀點出發(fā)。函數(shù)的近代定義是給定一個數(shù)集A,假設(shè)其中的元素為x,對A中的元素x施加對應(yīng)法則f,記作f(x),得到另一數(shù)集B,假設(shè)B中的元素為y,則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f(x)表示,函數(shù)概念含有三個要素:定義域A、值域B和對應(yīng)法則f。其中核心是對應(yīng)法則f,它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。
6. lnx的拉格朗日余項的泰勒公式
泰勒展開是在定義域內(nèi)的某一點展開,lnx在x=0處無定義,它不能在x=0處展開
一般用ln(x+1)來套用麥克勞林公式
在x = 0 處無定義,因為本來ln 0就沒定義
泰勒展開是可以的,一般是對ln(x+1)進(jìn)行展開,有麥克勞林公式:
ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 ...+(-1)^(n-1)x^n/n+...
要算ln x的近似值用ln (x+1)公式就可以。
擴(kuò)展資料:
除了一元泰勒公式外,多元泰勒公式的應(yīng)用也非常廣泛,特別是在微分方程數(shù)值解和最優(yōu)化上有著很大的作用。
在高等數(shù)學(xué)的理論研究及應(yīng)用實踐中,泰勒公式有著十分重要的應(yīng)用,簡單歸納如下
(1)應(yīng)用泰勒中值定理(泰勒公式)可以證明中值等式或不等式命題 。
(2)應(yīng)用泰勒公式可以證明區(qū)間上的函數(shù)等式或不等式。
(3)應(yīng)用泰勒公式可以進(jìn)行更加精密的近似計算。
7. ln1加x的拉格朗日余項推導(dǎo)
f(9)-f(4)=f′(x0)(9-4)
證明:由f(x)=√x,
∴f′(x)=1/2√x,
1/2√x=(√9-√4)/(9-4)
1/2√x=1/5
∴x0=25/4.