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拉格朗日配方法(用拉格朗日)

來源:www.whzytd.com.cn???時間:2023-01-05 03:21???點擊:106??編輯:admin 手機(jī)版

1. 用拉格朗日

這個定理是高數(shù)中比較基礎(chǔ)且比較難的問題。一般是證明題中運(yùn)用得比較多。比如說證明一個不等式。需要用到公式中的,切記這個是滿足區(qū)間中的任意數(shù),要正確理解任意的含義。 舉一個證明的列子,書上也出現(xiàn)過的。證明(b-a)/b<lnb-lna<(b-a)/a要正確證明這個題,要先構(gòu)造一個函數(shù)f(x)=lnx,然后運(yùn)用拉格朗日中值定理。

2. 用拉格朗日中值定理證明柯西中值定理

如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足:

  (1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

  (2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

  (3)對任一x∈(a,b),F(xiàn)'(x)≠0,

  那么在(a,b)內(nèi)至少有一點ζ,使等式

  [f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

  柯西簡潔而嚴(yán)格地證明了微積分學(xué)基本定理即牛頓-萊布尼茨公式。他利用定積分嚴(yán)格證明了帶余項的泰勒公式,還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積,推導(dǎo)了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。

3. 用拉格朗日中值定理證明不等式

輔助函數(shù)法:

已知 在 上連續(xù),在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),

構(gòu)造輔助函數(shù)

可得又因為 在 上連續(xù),在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),

所以根據(jù)羅爾定理可得必有一點 使得

由此可得

變形得

定理證畢。

4. 用拉格朗日中值定理證明a-b/a

左=AB+A非B+AB非=AB+AB+A非B+AB非=(AB+A非B)+(AB+AB非)=(A+A非)B+(B+B非)A=B+A=右證畢

5. 用拉格朗日中值定理證明e^x>ex

證明如下:如果函數(shù)f(x)在(a,b)上可導(dǎo),[a,b]上連續(xù),則必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意圖令f(x)為y,所以該公式可寫成△y=f'(x+θ△x)*△x (0

6. 用拉格朗日定理證明a-b/a

拉格朗日定理存在于多個學(xué)科領(lǐng)域中,分別為:流體力學(xué)中的拉格朗日定理;微積分中的拉格朗日定理;數(shù)論中的拉格朗日定理;群論中的拉格朗日定理。

正壓理想流體在質(zhì)量力有勢的情況下,如果初始時刻某部分流體內(nèi)無渦,則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為無渦。以某一起始時刻每個質(zhì)點的坐標(biāo)位置(a、b、c),作為該質(zhì)點的標(biāo)志。 如果在一個正整數(shù)的因數(shù)分解式中,沒有一個數(shù)有形式如4k+3的質(zhì)數(shù)次方,該正整數(shù)可以表示成兩個平方數(shù)之和。

7. 用拉格朗日中值定理求極限

1、打開matlab軟件,如圖中所示。

2、打開后如下。

3、清空我們的界面和工作空間:clear; %清空工作空間,clc; %清空工作界面。

4、定義一個符號變量,syms x;。

5、定義一個函數(shù),比如:y=(1-exp(1/x))/(x+exp(1/x))。

6、求解極限值,輸入一下指令,lim_y=limit(y,x,0,'right')。

7、查看我們的結(jié)果,ezplot(y2,[-4,4]),grid on,title('y=(1-exp(1/x))/(x+exp(1/x))');。

8、如圖,這是我們的解圖。

8. 用拉格朗日乘數(shù)法求極值如何判斷是極大值

拉格朗日乘數(shù)原理(即拉格朗日乘數(shù)法)由用來解決有約束極值的一種方法。

有約束極值:舉例說明,函數(shù) z=x^2+y^2 的極小值在x=y=0處取得,且其值為零。如果加上約束條件 x+y-1=0,那么在要求z的極小值的問題就叫做有約束極值問題。

上述問題可以通過消元來解決,例如消去x,則變成

z=(y-1)^2+y^2

則容易求解。

但如果約束條件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此時消元將會很繁,則須用拉格朗日乘數(shù)法,過程如下:

f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)

f對x的偏導(dǎo)=0

f對y的偏導(dǎo)=0

f對k的偏導(dǎo)=0

解上述三個方程,即可得到可讓z取到極小值的x,y值。

拉格朗日乘數(shù)原理在工程中有廣泛的應(yīng)用,以上只簡單地舉一例,更復(fù)雜的情況(多元函數(shù),多限制條件)可參閱高等數(shù)學(xué)教材。

9. 用拉格朗日乘子法計算在兩個等式約束條件

1、如果x>y,那么yy;(對稱性);

2、如果x>y,y>z;那么x>z;(傳遞性);

3、如果x>y,而z為任意實數(shù)或整式,那么x+z>y+z,即不等式兩邊同時加或減去同一個整式,不等號方向不變;

4、如果x>y,z>0,那么xz>yz ,即不等式兩邊同時乘以(或除以)同一個大于0的整式,不等號方向不變;

5、如果x>y,z<0,那么xz

6、如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;

7、如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;

8、如果x>y>0,那么x的n次冪>y的n次冪(n為正數(shù)),x的n次冪

10. 用拉格朗日方程法不能進(jìn)行阻尼振動系統(tǒng)的建模

當(dāng)計算一些數(shù)值比較大的計算題時,可以用拉格朗日乘數(shù)法

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