1. 拉格朗日乘數(shù)法證明冪平均值公式

拉格朗日乘數(shù)原理（即拉格朗日乘數(shù)法）由用來解決有約束極值的一種方法。

有約束極值：舉例說明，函數(shù) z=x^2+y^2 的極小值在x=y=0處取得，且其值為零。如果加上約束條件 x+y-1=0,那么在要求z的極小值的問題就叫做有約束極值問題。

上述問題可以通過消元來解決，例如消去x，則變成

z=(y-1)^2+y^2

則容易求解。

但如果約束條件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此時(shí)消元將會(huì)很繁，則須用拉格朗日乘數(shù)法，過程如下：

令

f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)

令

f對(duì)x的偏導(dǎo)=0

f對(duì)y的偏導(dǎo)=0

f對(duì)k的偏導(dǎo)=0

解上述三個(gè)方程，即可得到可讓z取到極小值的x,y值。

拉格朗日乘數(shù)原理在工程中有廣泛的應(yīng)用，以上只簡(jiǎn)單地舉一例，更復(fù)雜的情況（多元函數(shù)，多限制條件）可參閱高等數(shù)學(xué)教材。

2. 拉格朗日乘數(shù)法和拉格朗日中值定理

拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的 多元函數(shù)的 極值的方法。

這種方法將一個(gè)有n 個(gè)變量與k 個(gè) 約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n + k個(gè)變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個(gè)向量的系數(shù)。此方法的證明牽涉到偏微分， 全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值

3. 拉格朗日乘數(shù)法推導(dǎo)

拉格朗日乘數(shù)法是多元微分學(xué)中用來求函數(shù)z=f(x,y)在滿足g(x,y)=0條件下的極值問題的方法：通過設(shè)F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ稱為拉格朗日乘數(shù),并求F(x,y)的極值點(diǎn)求得條件極值的方法

4. 均值不等式拉格朗日乘數(shù)法

　　在數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題中，拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。

這種方法將一個(gè)有n 個(gè)變量與k 個(gè)約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n + k個(gè)變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個(gè)向量的系數(shù)。此方法的證明牽涉到偏微分，全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

5. 拉格朗日乘數(shù)法幾何解釋

構(gòu)造函數(shù)4a+b+m(a^2+b^2+c^2-3)

對(duì)函數(shù)求偏導(dǎo)并令其等于0

4+2ma=0

1+2mb=0

2mc=0

同時(shí)a^2+b^2+c^2=3

所以

m=根號(hào)17/2根號(hào)3

a=-4根號(hào)3/根號(hào)17

b=-根號(hào)3/根號(hào)17

4a+b=-根號(hào)51

1、是求極值的,不是求最值的

2、如果要求最值,要把極值點(diǎn)的函數(shù)值和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值還有端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較

3、書上說是可能的極值點(diǎn),這個(gè)沒錯(cuò),比如f(x)=x^3,在x=0點(diǎn)導(dǎo)數(shù)確實(shí)為0,但是不是極值點(diǎn),所以是可能的極值點(diǎn),到底是不是要帶入原函數(shù)再看

6. 拉格朗日中值定理證明對(duì)數(shù)平均不等式

輔助函數(shù)法：

已知 在 上連續(xù)，在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，

構(gòu)造輔助函數(shù)

可得又因?yàn)?在 上連續(xù)，在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，

所以根據(jù)羅爾定理可得必有一點(diǎn) 使得

由此可得

變形得

定理證畢。

7. 拉格朗日數(shù)乘求最值

拉格朗日中值定理可以看成是中間有點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于連接起點(diǎn)終點(diǎn)直線的斜率，就是中間那一點(diǎn)的切線斜率等于連接那兩點(diǎn)直線的斜率（就是平行了）

8. 用拉格朗日中值定理證明對(duì)數(shù)均值不等式

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個(gè)整體；②變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào)，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式；③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí)，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础靶柚保鸩酵瞥觥敖Y(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B。

3.分析法分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。用分析法證明AB的邏輯關(guān)系為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。

4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時(shí)，可以考慮用反證法。

5.換元法換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示。此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題根據(jù)具體問題，實(shí)施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設(shè)x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對(duì)于含有的不等式，由于|x|≤1，可設(shè)x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設(shè)x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對(duì)稱式(任意交換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過換元達(dá)到減元，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進(jìn)行換元。

6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而借助一個(gè)或多個(gè)中間變量通過適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應(yīng)用均值不等式進(jìn)行放縮。

1、比較法（作差法）

在比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 和 的大小時(shí)，可借助 的符號(hào)來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號(hào)、負(fù)號(hào)、零）。變形時(shí)常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應(yīng)用已知定理、公式等。

例1、已知： ， ，求證： 。

證明： ，故得 。

2、分析法（逆推法）

從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步一步地推導(dǎo)，最后達(dá)到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導(dǎo)過程都必須可逆。

例2、求證： 。

證明：要證 ，即證 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。

3、綜合法

證題時(shí)，從已知條件入手，經(jīng)過逐步的邏輯推導(dǎo)，運(yùn)用已知的定義、定理、公式等，最終達(dá)到要證結(jié)論，這是一種常用的方法。

例3、已知： ， 同號(hào)，求證： 。

證明：因?yàn)?， 同號(hào)，所以 ， ，則 ，即 。

4、作商法（作比法）

在證題時(shí)，一般在 ， 均為正數(shù)時(shí)，借助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大于1或小于1）。

例4、設(shè) ，求證： 。

證明：因?yàn)?，所以 ， 。而 ，故 。

5、反證法

先假設(shè)要證明的結(jié)論不對(duì)，由此經(jīng)過合理的邏輯推導(dǎo)得出矛盾，從而否定假設(shè)，導(dǎo)出結(jié)論的正確性，達(dá)到證題的目的。

例5、已知 ， 是大于1的整數(shù)，求證： 。

證明：假設(shè) ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。

6、迭合法（降元法）

把所要證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡(jiǎn)單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證。

例6、已知： ， ，求證： 。

證明：因?yàn)?， ，

所以 ， 。

由柯西不等式

，所以原不等式獲證。

7、放縮法（增減法、加強(qiáng)不等式法）

在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的各項(xiàng)之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項(xiàng)換以較大（或較小）的數(shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達(dá)到證明的目的。值得注意的是“放”、“縮”得當(dāng)，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。

例7、求證： 。

證明：令 ，則

，

所以 。

8、數(shù)學(xué)歸納法

對(duì)于含有 的不等式，當(dāng) 取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在 時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式在 時(shí)也成立，那么肯定這個(gè)不等式對(duì) 取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立。

例8、已知： ， ， ，求證： 。

證明：（1）當(dāng) 時(shí)， ，不等式成立；

（2）若 時(shí)， 成立，則

= ，

即 成立。

根據(jù)（1）、（2）， 對(duì)于大于1的自然數(shù) 都成立。

9、換元法

在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡(jiǎn)化。

例9、已知： ，求證： 。

證明：設(shè) ， ，則 ，

（因?yàn)?， ），

所以 。

9. 拉格朗日中值定理平均值公式

打開wps,選中要求和的結(jié)果，點(diǎn)擊導(dǎo)航欄自動(dòng)求和右邊小箭頭，找到平均值就可以求平均值了。