1. 拉格朗日對(duì)偶性和KKT條件

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿足條件：

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)f(a)=f(b)時(shí)的特殊情形，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

2. 拉格朗日乘數(shù)法kkt條件

拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的 多元函數(shù)的 極值的方法。

這種方法將一個(gè)有n 個(gè)變量與k 個(gè) 約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n + k個(gè)變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個(gè)向量的系數(shù)。此方法的證明牽涉到偏微分， 全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值

3. 拉格朗日對(duì)偶函數(shù)

約瑟夫·拉格朗日

外文名

Joseph-Louis Lagrange

別名

拉格朗日

性別

男

出生日期

1736年

去世日期

1813年4月10日

國籍

法國

出生地

意大利都靈

職業(yè)

數(shù)學(xué)家

物理學(xué)家

代表作品

《關(guān)于解數(shù)值方程》和《關(guān)于方程的代數(shù)解法的研究》

主要成就

拉格朗日中值定理等

數(shù)學(xué)分析的開拓者

4. 拉格朗日乘數(shù)法與kkt條件

拉格朗日乘數(shù)法是多元微分學(xué)中用來求函數(shù)z=f(x,y)在滿足g(x,y)=0條件下的極值問題的方法：通過設(shè)F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ稱為拉格朗日乘數(shù),并求F(x,y)的極值點(diǎn)求得條件極值的方法

5. 拉格朗日對(duì)偶問題和對(duì)偶問題

首先是我們有不等式約束方程，這就需要我們寫成min max的形式來得到最優(yōu)解。而這種寫成這種形式對(duì)x不能求導(dǎo)，所以我們需要轉(zhuǎn)換成max min的形式，這時(shí)候，x就在里面了，這樣就能對(duì)x求導(dǎo)了。

而為了滿足這種對(duì)偶變換成立，就需要滿足KKT條件（KKT條件是原問題與對(duì)偶問題等價(jià)的必要條件，當(dāng)原問題是凸優(yōu)化問題時(shí)，變?yōu)槌湟獥l件）。

6. 拉格朗日函數(shù)的對(duì)偶性

函數(shù)需要滿足完整約束。拉格朗日函數(shù)是在力學(xué)系上只有保守力的作用，是描述整個(gè)物理系統(tǒng)的動(dòng)力狀態(tài)的函數(shù)。

在分析力學(xué)里，假設(shè)已知一個(gè)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，則可以將拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加運(yùn)算，即可求得此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。

在力學(xué)系上只有保守力的作用，則力學(xué)系及其運(yùn)動(dòng)條件就完全可以用拉格朗日函數(shù)表示出來。這里說的運(yùn)動(dòng)條件是指系統(tǒng)所受的主動(dòng)力和約束。因此，給定了拉氏函數(shù)的明顯形式就等于給出了一個(gè)確定的力學(xué)系。拉氏函數(shù)是力學(xué)系的特性函數(shù)。