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拉格朗日證明(拉格朗日證明對數(shù)平均不等式)

來源:www.whzytd.com.cn???時間:2022-12-29 06:10???點擊:262??編輯:admin 手機版

1. 拉格朗日證明對數(shù)平均不等式

拉格朗日中值定理是微積分中的重要定理之一,大多數(shù)是利用羅爾中值定理構(gòu)建輔助函數(shù)來證明的。

擴展資料

  拉格朗日中值定理又稱拉氏定理,是微分學(xué)中的基本定理之一,它反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的.整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率的關(guān)系。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣,同時也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一階展開)。

  法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》的第六章提出了該定理,并進行了初步證明,因此人們將該定理命名為拉格朗日中值定理。

2. 利用拉格朗日定理證明不等式

羅爾定理可知。

fa=fb時,存在某點e,使f′e=0。

開始證明拉格朗日。

假設(shè)一函數(shù)fx。

目標(biāo):證明fb-fa=f′e(b-a),即拉格朗日。

假設(shè)fx來做成一個毫無意義的函數(shù),fx-(fb-fa)/(b-a)*x,我們也不知道他能干啥,是我們隨便寫的一個特殊函數(shù),我們令它等于Fx。

這個特殊函數(shù)在于,這個a和b,正好滿足Fb=Fa,且一定存在這個a和b。

此時就有羅爾定理的前提了。

于是得出有一個e,能讓F′e=0(羅爾定理)

即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′,

上面求導(dǎo)等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。

將唯一的x帶換成e,并且整個式子等于0。

變成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→

f′e=(fb-fa)/(b-a)→

f′e(b-a)=(fb-fa)。

擴展資料

證明過程

證明:因為函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù),所以存在最大值與最小值,分別用 M 和 m 表示,分兩種情況討論:

1. 若 M=m,則函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 上必為常函數(shù),結(jié)論顯然成立。

2. 若 M>m,則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內(nèi)某點ξ處取得,從而ξ是f(x)的極值點,又條件 f(x) 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)得,f(x) 在 ξ 處取得極值,由費馬引理推知:f'(ξ)=0。

另證:若 M>m ,不妨設(shè)f(ξ)=M,ξ∈(a,b),由可導(dǎo)條件知,f'(ξ+)<=0,f'(ξ-)>=0,又由極限存在定理知左右極限均為 0,得證。

幾何意義

若連續(xù)曲線y=f(x) 在區(qū)間 [a,b] 上所對應(yīng)的弧段 AB,除端點外處處具有不垂直于 x 軸的切線,且在弧的兩個端點 A,B 處的縱坐標(biāo)相等,則在弧 AB 上至少有一點 C,使曲線在C點處的切線平行于 x 軸。

首先是式子進行整理,整理成左邊是式子,右邊是零,其次是構(gòu)造函數(shù),構(gòu)造的這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要等于原來的函數(shù),這便于用羅爾定理,其次是要找出能使用羅爾定理的最后一個條件,即兩個函數(shù)值相等,最后用羅爾定理證明必有一點導(dǎo)數(shù)值為零,即得證。

3. 用拉格朗日乘數(shù)法證明均值不等式

拉格郎日乘數(shù)法的適用條件是乘數(shù)不等于0。

求最值(最值是某個區(qū)間的最大或最小,注意最大/最小可能有同值的多個,所以也不唯一哈,極值是一個小范圍,很小很小,內(nèi)的最值).因為最值總是發(fā)生在極值點+區(qū)間邊界點+間斷點處,所以可以用拉朗乘數(shù)求出極值,用邊界和間斷點極限求出可疑極值,比較他們的大小,就可以找到區(qū)間內(nèi)的最值了.特別地,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)用拉朗求出僅一個極值,切很易判定沒有其他可疑極值點,就可以直接判斷那個極值是最值;或者可以判斷函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)(比如exp(x^2+y^2)在(x>0,y>0)時單調(diào)遞增),就不用求極值(因為沒有),直接求區(qū)間邊界(或者間斷點,有間斷點也可以單調(diào)的)作為最值。

4. 拉格朗日證明不等式例題

約瑟夫·拉格朗日

外文名

Joseph-Louis Lagrange

別名

拉格朗日

性別

出生日期

1736年

去世日期

1813年4月10日

國籍

法國

出生地

意大利都靈

職業(yè)

數(shù)學(xué)家

物理學(xué)家

代表作品

《關(guān)于解數(shù)值方程》和《關(guān)于方程的代數(shù)解法的研究》

主要成就

拉格朗日中值定理等

數(shù)學(xué)分析的開拓者

5. 拉格朗日中值定理證明對數(shù)不等式

●【均值不等式的變形】

(1)對正實數(shù)a,b,有a^2+b^2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號),a^2+b^2>0>-2ab(2)對非負實數(shù)a,b,有a+b≥2√(a*b)≥0,即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)對負實數(shù)a,b,有a+b<0<2√(a*b)(4)對實數(shù)a,b(a≥b),有a(a-b)≥b(a-b)(5)對非負數(shù)a,b,有a^2+b^2≥2ab≥0(6)對非負數(shù)a,b,有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥ab(7)對非負數(shù)a,b,c,有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^

2(8)對非負數(shù)a,b,c,有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(9)對非負數(shù)a,b,有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^22/(1/a+1/b)≤√ab≤a+b/2≤√((a^2+b^2)/2)

例一證明不等式:2√x≥3-1/x(x>0)證明:2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3所以,2√x≥3-1/

x例二長方形的面積為p,求周長的最小值解:設(shè)長,寬分別為a,b,則a*b=p因為a+b≥2√ab,所以2(a+b)≥4√ab=4√p周長最小值為4√p例三長方形的周長為p,求面積的最大值解:設(shè)長,寬分別為a,b,則2(a+b)=p因為a+b=p/2≥2√ab,所以ab≤p^2/1粻嘗綱妒蕺德告泉梗滬6面積最大值是p^2/16

6. 拉格朗日中值定理證明對數(shù)平均不等式

log2(x)^2+2log0.5(x)-3

令log2(x)=a,所以long0.5(x)=-a

即a^2-2a-3>=0,a>=3或者a<=-1

所以x>=8或者0<x<=0.5

(log?x)2+2log(0.5)x-3≥0

log(0.5)x=-log?x

原不等式即

(log?x)2-2log?x-3≥0

這是關(guān)于log?x的二次不等式

解得:

log?x≤-1或log?x≥3

∴ log?x≤log?(1/2)或log?x≥log?8

∴0<x≤1/2或x≥8

∴不等式的解集為(0,1/2]U[8,+∞)

7. 用拉格朗日公式證明不等式

1拉格朗日公式

拉格朗日方程

對于完整系統(tǒng)用廣義坐標(biāo)表示的動力方程,通常系指第二類拉格朗日方程,是法國數(shù)學(xué)家J.-L.拉格朗日首先導(dǎo)出的。通??蓪懗桑?/p>

式中T為系統(tǒng)用各廣義坐標(biāo)qj和各廣義速度q'j所表示的動能;Qj為對應(yīng)于qj的廣義力;N(=3n-k)為這完整系統(tǒng)的自由度;n為系統(tǒng)的質(zhì)點數(shù);k為完整約束方程個數(shù)。

插值公式

線性插值也叫兩點插值,已知函數(shù)y = f(x)在給定互異點x0, x1上的值為y0= f(x0),y1= f(x1)線性插值就是構(gòu)造一個一次多項式

P1(x) = ax + b

使它滿足條件

P1(x0) = y0P1(x1) = y1

其幾何解釋就是一條直線,通過已知點A (x0, y0),B(x1, y1)。

8. 拉格朗日證明不等式的方法

一個推論,利用拉格朗日恒等式可以證明柯西不等式,好了,下面開始給你證明.‘

有一個適合中學(xué)生的拉格朗日恒等式:

[(a1)^2+(a2)^2][(b1)^2+(b2)^2]=

[(a1)(b1)+(a2)(b2)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2

[(a1)^2+(a2)^2+(a3)^2][(b1)^2+(b2)^2+(b3)^2]=

=[(a1)(b1)+(a2)(b2))+(a3)(b3)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+

+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+[(a2)(b3)-(a3)(b2)]^2

[(a1)^2+...+(an)^2][(b1)^2+...+(bn)^2]=

=[(a1)(b1)+...+(an)(bn)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+

+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+..+[(a(n-1))(bn)-(an)(b(n-1))]^2

.

9. 怎么利用拉格朗日證明不等式

拉格朗日定理存在于多個學(xué)科領(lǐng)域中,分別為:流體力學(xué)中的拉格朗日定理;微積分中的拉格朗日定理;數(shù)論中的拉格朗日定理;群論中的拉格朗日定理。

正壓理想流體在質(zhì)量力有勢的情況下,如果初始時刻某部分流體內(nèi)無渦,則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為無渦。以某一起始時刻每個質(zhì)點的坐標(biāo)位置(a、b、c),作為該質(zhì)點的標(biāo)志。 如果在一個正整數(shù)的因數(shù)分解式中,沒有一個數(shù)有形式如4k+3的質(zhì)數(shù)次方,該正整數(shù)可以表示成兩個平方數(shù)之和。

10. 用拉格朗日中值定理證明對數(shù)均值不等式

均值不等式的使用條件:

一正:數(shù)字首先要都大于零,兩數(shù)為正

二定:數(shù)字之間通過加或乘可以有定值出現(xiàn),乘積為定值——可以不是具體的數(shù)字,但在題目中必須是不變的量;

三相等:檢驗等號是不是取得到,當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等才有不等式的等號成立,一般第三步很容易被忽略,因此這也是均值不等式的易錯點之一。

用均值不等式求函數(shù)的最值,在具體求解時,應(yīng)注意考查下列三個條件:

1、函數(shù)的解析式中,各項均為正數(shù);

2、函數(shù)的解析式中,含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值;

3、函數(shù)的解析式中,含變數(shù)的各項均相等,取得最值擴展資料:均值不等式的常見公式:a^2+b^2 ≥ 2ab√(ab)≤(a+b)/2 ≤(a^2+b^2)/2a^2+b^2+c^2≥(a+b+c)^2/3≥ab+bc+ac

a+b+c≥3×三次根號abc均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是數(shù)學(xué)中的一個重要公式。

公式內(nèi)容為Hn≤Gn≤An≤Qn,即調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù),幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù),算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)。

均值不等式的四大證明方法:

1、直接歸納法

2、取對數(shù)證明法

3、排序不等式法

4、最后一個證明法

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