1. 拉格朗日定理求極限

求極限常用等價無窮小替代、洛必達法則、泰勒公式等方法，有時候等價無窮小不能用，洛必達法則過于繁瑣，泰勒公式法雖然強大但是相對麻煩。對有一些形式，使用拉格朗日中值定理非常便捷。下面舉兩個個例子：

這種形式的式子，很明顯直接使用等價無窮小是不行的，洛必達法則又麻煩至極，泰勒公式做起來也不輕松。

我們發現上述式子有這樣的特點：右側減法式子里，兩項的形式都非常類似，并且隨著極限的趨向，兩項越來越接近。這時候我們可以使用拉格朗日中值定理處理這個減法式子。

于是上述式子就可以變成（恒等變換）：

這個時候，隨著x的增大，可以發現，拉格朗日中值定理作用的區間越來越小，最終可以確定

然后接下來就非常好辦了

上面的式子有這樣的共性：1.存在兩項相減因式且形式相同；2.隨著x的變化，因式的兩項越來越接近（

所在區間變小）

2. 拉格朗日定理求極限公式

這里用的是導數的定義，不是拉格朗日中值定理，雖然有點象，但其本質是不一樣的。當然，拉格拉日中值定理只要原函數在開區間內可導，在閉區間內連續就可以了，沒有要求導函數一定要連續

3. 拉格朗日定理求極限條件

由開爾文定理可直接推論得到拉格朗日定理（Lagrange theorem），即漩渦不生不滅定理:

正壓理想流體在質量力有勢的情況下，如果初始時刻某部分流體內無渦，則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為無渦。反之，若初始時刻該部分流體有渦，則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為有渦。

4. 拉格朗日定理求極限例題

這個定理是高數中比較基礎且比較難的問題。一般是證明題中運用得比較多。比如說證明一個不等式。需要用到公式中的，切記這個是滿足區間中的任意數，要正確理解任意的含義。 舉一個證明的列子，書上也出現過的。證明（b-a）/b<lnb-lna<(b-a)/a要正確證明這個題，要先構造一個函數f(x)=lnx,然后運用拉格朗日中值定理。

5. 拉格朗日求極限原理

這題不能用拉格朗日中值定理,因為拆成[cos(sinx)-cosx]/(sinx-x)*(sinx-x)/(1-cosx)sinx之後,分別計算每項極限.第一項用拉格朗日中值定理得極限是0,而第二項用等價無窮小替換得極限是∞,所以不能利用積的極限等於極限的積來拆開.這題最簡單就是分子用和差化積公式整理,然後等價替換分子=-2sin[(sinx+x)/2]*sin[(sinx-x)/2]~(x+sinx)(x-sinx)/2~x^4/6分母~x^4/2因此原式=1/3